belajar kinematika

بِسْــــــــــــــــمِ اﷲِالرَّحْمَنِ اارَّحِيم

Modul I

fisika peminatan

kurikulum 2013

kelas XI SMA

bimbingan belajar malam hari kamis

‘KINEMATIKA ANALISIS VEKTOR’
Kinematika adalah cabang dari mekanika klasik yang mendeskripsikan gerak dari titik, objek, atau sistem (kelompok objek) tanpa mempertimbangkan penyebab dari gerak tersebut. ^[1] Gerak translasional adalah gerak yang melibatkan pergeseran objek pada satu dimensi atau lebih (sumbu x, y, atau z). ^[2]

1.      Vektor Posisi

• Vector posisi pada bidang 2 dimensi

Pengertian : Vektor posisi (r) menyatakan posisi(kedudukan) suatu objek yang dinyatakan kedalam suatu vektor

• Vektor Posisi Pada Bidang : 
• Suatu benda berada di A (x,y). Maka Vektor posisi benda tersebut kita tulis: A = xi + yj
• Sebagai contoh:   r = i + 2j 

Vektor posisi di atas merupakan salah satu contoh vektor posisi pada bidang (2 dimensi), yang mana i menyatakan arah dari sumbu x dan j  meruapakn arah dari sumbu y.

Jika Vektor Posisi tersebut di gambarkan maka kita dapati :

Keterangan :

1. Angka 1 pada sumbu x menyatakan besarnya nilai di arah sumbu x, dituliskan 1i atau i
2. Angka 2 pada sumbu y menyatakan besarnya nilai di arah sumbu y, dituliskan 2j

• Vektor Posisi Pada Bidang 3 dimensi :

          r = i + 2j +k
Vektor posisi di atas merupakan salah satu contoh vektor posisi pada bidang (3 dimensi), yang mana i menyatakan arah dari sumbu x, j menyatakan arah dari sumbu y dan k menyatakan arah dari sumbu z.

Keterangan :

1. Angka 1 pada sumbu x menyatakan besarnya nilai di arah sumbu x, dituliskan 1i atau i
2. Angka 2 pada sumbu y menyatakan besarnya nilai di arah sumbu y, dituliskan 2j
3. Angka 1 pada sumbu z menyatakan besarnya nilai di arah sumbu z, dituliskan 1k

2. Perpindahan

Perpindahan merupakan pergeseran suatu benda dari suatu titik (tempat) ke titik lain. Pergeseran merupakan besaran vektor karena memiliki nilai dan arah.

Perhatikan ilustrasi berikut: Suatu benda mula-mula berada pada posisi   

bergeser melalui lintasan berikut ke posisi lihat gambar

Dari gambar, walau lintasannya berliku, perpindahan benda adalah dari titik P ke Q yang  ditandai oleh anak panah biru. Untuk mencari besar dan arah perpindahan r pertama yang harus dilakukan adalah menuliskan pektor posisi p dan q dalam vector satuam sebagai berikut:

Veltor posisi p adalah 

 dan vector posisi q adalah 

Dari kedua vector posisi ini dapat dicari vektor perpindahan r menggunakan kaidah penjumlahan vector sebagai berikut.  Berdasarkan gambar di atas  p + r = q  dengan demikian vector perpindahan r  menjadi 

Nilai vektor perpindahan r menjadi  

Arah vector perpindahan r ditunjukkan oleh sudut Ѳ yang dibentuk

oleh vector perpindahan r dengan garis horizontal lihat gambar.  Dari gambar tersebut nilai Ѳ dapat dicari dengan persamaan trigoneometri yaitu tangent 

Contoh soal

1.    Seorang anak mula-mula berada pada posisi P(5,7) m dari acuan o, karena takut sesuatu anak kemudian secara berliku-liku pindah ke posisi Q(11, 15) m. Tentukan:

a.    vector perpindahan anak r

b.    besar perpindahan yang dilakukan anak r

c.     arah perpindahan anak Ѳ

Penyelesaian

Diketahui: posisi awal P(5,7) m

                     Posisi akhir Q(11, 15)m

Ditanya

a.      vector perpindahan anak r

b.     besar perpindahan yang dilakukan anak r

c.      arah perpindahan anak Ѳ

      Jawab :

a.    vector perpindahan anak r dicari dengan menggunakan persamaan masukkan nilainya diperoleh 

   

  b.    Untuk mencari besar nilai perpindahan gunakan hasil a dan persamaan

               

c.     Arah perpindahan ditentukan dengan persamaan

                     

4.      KECEPATAN

4.1  Kecepatan Rata-Rata

Perpindahan partikel dari satu posisi ke posisi lain dalam selang waktu tertentu disebut dengan kecepatan rata-rata. Kecepatan rata-rata memiliki arah yang sama dengan arah perpindahan. Kecepatan rata-rata pada bidang dua dimensi dinyatakan sebagai berikut.

Berdasarkan gambar diatas dapat diketahui bahwa perubahan posisi benda (titik materi) dari A ke B adalah Δr = r_B – r_A, sedangkan selang waktu yang diperlukan adalah Δt = t_B– t_A. Hasil bagi antara perpindahan dan selang waktu tersebut adalah kecepatan rata-rata yang dirumuskan :

dengan:
v = kecepatan rata-rata (m/s)
Δr = perpindahan (m)
Δt = selang waktu (s)

Persamaan diatas apabila dinyatakan dalam vektor satuan, maka

dengan :

v = kecepatan rata-rata
ν_x = Δx/Δt = komponen kecepatan rata-rata pada sumbu x
ν_y = Δy/Δt = komponen kecepatan rata-rata pada sumbu y

Tanda garis di atas besaran v menyatakan harga rata-rata, arah kecepatan rata-rata v searah dengan perpindahan Δr .

4.2 Kecepatan Sesaat

Jika kita mengendarai sepeda motor sepanjang jalan yang lurus sejauh 100 km dalam waktu 2 jam, besar kecepatan rata-ratanya adalah 50 km/jam. Walaupun demikian, tidak mungkin kita mengendarai sepeda motor tersebut tepat 50 km/jam setiap saat. Untuk mengetahui situasi ini, kita memerlukan konsep kecepatan sesaat yang merupakan kecepatan pada suatu waktu. Kecepatan sesaat adalah kecepatan rata-rata pada limit selang waktu Δt mendekati nol. Secara matematis kecepatan sesaat dituliskan:

dx/dt  adalah turunan pertama fungsi vektor posisi terhadap waktu.

jika r = xi + yj dan Δr = Δxi + Δyj

maka,

 

dengan:

v= vektor kecepatan sesaat (m/s)
ν_x = dx/dt komponen kecepatan sesaat pada sumbu x (m/s)
ν_y = dy/dt komponen kecepatan sesaat pada sumbu y (m/s)

Arah kecepatan sesaat merupakan arah garis singgung lintasan di titik tersebut.

4.3 Menentukan Posisi Dari Fungsi Kecepatan

Berdasarkan persamaan kecepatan sesaat berikut :

kecepatan dapat dicari dengan turunan dari fungsi posisinya. Sebaliknya, jika fungsi kecepatan diketahui, fungsi posisi dapat ditentukan dengan mengintegralkan fungsi kecepatan tersebut
v = dr/dt
dr = v.dt
Apabila persamaan tersebut diintegralkan, maka:

dengan :

r₀= posisi awal (m)
r = posisi pada waktu t (m)v = kecepatan yang merupakan fungsi waktu (m/s)

Komponen posisi pada arah sumbu x dan sumbu y adalah :

5.      Percepatan Rata - rata dan Percepatan Sesaat

Percepatan didefinisikan sebagai perubaahan kecepatan benda tiap satuan waktu. Percepatan dibagi menjadi 2 yaitu ..

a. Percepatan Rata -rata

Percepatan rata - rata yaitu perubahan kecepatan tiap satuan waktu. Rumusnya yaitu ..

Contoh Soal :

Diketahui v = ( 3t+9 ) î + (6t+9t) j, tentukan percepatan rata - rata partikel selang waktu 1 sekon hingga 4 sekon

Penyelesaian :

b. Percepatan Sesaat

Percepatan sesaat adalah percepatan dalam selang waktu sangat kecil atau mendekati 0.

6. Besaran turunan dan Integral sederhana
Dalam memecahkan persoalan persamaan gerak, integral merupakan alat bantu matematis yang diperlukan. Jika suatu benda diketahui posisinya (r) maka untuk merubah ke dalam kecepatan (v) kita turunkan 1 kali dan jika dari posisi (r) ke percepatan (a) kita turunkan 2 kali dan jika dari kecepatan ke percepatan maka kita turunkan 1 kali.

v  Konsep Turunan dan integral pada vektor posisi, kecepatan dan percepatan lebih sederhana

Diketahui bahwa kecepatan merupakan turunan dari posisi, maka jika kecepatan diintegralkan akan menghasilkan posisi. Percepatan merupakan turunan dari kecepatan maka jika percepatan diintegralkan akan menghasilkan kecepata. Secara ringkas dapat digambarkan dengan :

 Jika ke atas 1 kali maka Integralkan 1 kali, begitupun juga ke atas 2 kali Integralkan 2 kali. Dan sama halnya seperti Integral Jika ke bawah 1 kali maka Turunkan 1 kali, begitupun juga ke atas 2 kali Turunkan 2 kali. 

Contoh 1 :

Contoh Soal Turunan :

Diketahui r(t) = ( 3t2 − 2t  ) î + ( 4t3 − 4t ) j, Tentukan Kecepatan ( v ) dan Percepatan ( a )

Penyelesaian :

Kecepatan :
r(t) = ( 3t2 − 2t  ) î + ( 4t3 − 4t ) j
v(t) = ( 3x2 t − 2 ) î + ( 4x3 t2 − 4 ) j
v(t) = ( 6t − 2 ) î + ( 12t2 − 4 ) j

Percepatan :
v(t) = ( 6t − 2 ) î + ( 12t2 − 4 ) j
a(t) = 6 î + ( 24t )  j

Contoh Soal Integral :

Diketahui a(t) = ( 4 − 2t  ) î + ( 6t − 3 ) j, Tentukan Kecepatan ( v ) dan Percepatan ( a )

Penyelesaian :
Kecepatan :

Posisi :

Indikator :
• Menganalisis gerak parabola dengan menggunakan vektor
II. Materi Belajar

Gerak Parabola Dalam Analisis Kinematika Vektor

Perpaduan Gerak Lurus Beraturan

Perhatikan gambar!

Jika perahu berangkat dari titik A dan diarahkan tegak lurus titik B, maka kemungkinan besar perahu akan tiba di titik C. Hal ini disebabkan dua gerak, gerak perahu dan gerak aliran sungai yang saling tegak lurus.

Secara analisis vektor dapat persamaan sebagai berikut:

Vektor kecepatan perpaduan gerak:

Karena gerak aliran sungai    gerak perahu (a=90^o)

untuk mencari resultan lintasan (AC)

waktu tempuh perahu untuk mencapai titik C

arah gerak perpaduan

Gerak Parabola

Lintasan gerak perpaduan antara gerak lurus beraturan dalam arah horisontal (sumbu x) dengan gerak lurus berubah beraturan dalam arah vertikal (sumbu y)  berbentuk parabola disebut gerak parabola.

•      pada sumbu x

persamaan kecepatan

persamaan perpindahan

 

pada sumbu y

persamaan kecepatan

persamaan perpindahan

 

•      Persamaan vektor gerak parabola

untuk titik B, koordinatnya dituliskan B(x_B,y_B)

Persamaan kecepatan

 

Nilai kecepatan

Arah kecepatan

•      Persamaan Titik Tertinggi

            Waktu untuk mencapai titik tertinggi

Untuk mencapai koordinat titik tertinggi (x_C,y_C)

•      Persamaan Titik Terjauh

            untuk memperoleh koordinat titik terjauh (x_E,y_E)

 

Arah v_E

Gerak Melingkar

Gerak melingkar: gerak yang lintasannya berupa lingkaran

•      Kedudukan (posisi) sudut

 

•      Kecepatan sudut

Kecepatan sudut rata-rata

Kecepatan sudut sesaat

Posisi sudut dapat juga ditentukan

•      Percepatan sudut

•       

Percepatan sudut sesaat

           

Kecepatan sudut dapat juga ditentukan

Kedudukan awal

Percepatan Gerak Melingkar

 

Perceparan benda yang selalu mengarah ke pusat lingkaran disebut percepatan sentripetal

 

Selain percepatan sentripetal, pada gerak melingkar berubah beraturan terdapat juga percepatan tangensial

Percepatan total yang dimiliki oleh benda yang mengalami gerak melingkar beraturan

III. Soal-soal Latihan
Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda. Jika diperlukan, ambil g = 10 m/s2.
1. Sebuah penggulung dalam suatu mesin cetak berputar melalui sudut (t) = 2,5t2 – 0,4 t, dengan        tq(t), yang dapat dinyatakan oleh persamaan q  dalam radian.qdalam sekon dan
a. Hitung kecepatan sudut sebagai fungsi waktu t
b. Hitung kecepatan sudut penggulung pada:
(i). t = 0; (ii). t = 1 s (iii). t = 2 s
2. Sebuah penggulung pada suatu mesin cetak berputar melalu sudut (t) = pt2 – qt3, dengan p = 2,5 rad/s2 dan q =q(t) yang diberikan oleh q 0,4 rad/s3.
a. Hitung percepatan sudut penggulung sebagai fungsi waktu
b. Berapa kecepatan sudut positif maksimum dan berapa nilai t pada saat itu (Tips: kecepatan sudut maksimum terjadi jika ).
 = (4t3w3. Suatu titik zat bergerak melingkar dengan kecepatan sudut  – 6t2) rad/s. Jika posisi sudut awal (2t -1) rad, tentukan posisi sudut saat t = 1 sekon!
4. Sebuah benda awalnya diam kemudian dipercepat dalam suatu lintasan  = (12t2 – 16t + 10)amelingkar berjari-jari 3 m menurut persamaan  rad/s2. Tentukan posisi sudut benda saat t = 2 sekon!
5. Mata bor sebuah bor listrik berotasi dengan percepatan sudut tetap  = 0 dengan kecepatan sudut 15q5 rad/s2. Pada saat awal , posisi sudut  rad/s. Tentukan sudut yang telah ditempuh oleh putaran mata bor tersebut saat t = 3 sekon!